गॉस विधि: समाधान और विशेष मामलों के उदाहरण

गाऊसी पद्धति, जिसे चरण-दर-चरण विधि भी कहा जाता हैअनजान चर का बहिष्कार, नामित जर्मन वैज्ञानिक के.एफ. के नाम पर रखा गया है। गॉस, जो अपने जीवनकाल के दौरान, "गणित के राजा" का अनौपचारिक शीर्षक प्राप्त करते थे। हालांकि, इस पद्धति को पहली बार पहली सदी के रूप में, यूरोपीय सभ्यता के जन्म से पहले जाना जाता था। ईसा पूर्व। ई। प्राचीन चीनी वैज्ञानिकों ने उनके लेखन में इसका इस्तेमाल किया।

गाऊसी पद्धति, रैखिक बीजीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणाली को सुलझाने का एक शास्त्रीय तरीका है। यह आसानी से घिरा हुआ मैट्रिक्स को हल करने के लिए आदर्श है।

विधि में दो चालें होती हैं: प्रत्यक्ष और रिवर्स एक सीधा रन एसएलएयू का त्रिकोणीय रूप का क्रमिक ढांचा है, जो कि मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित शून्यिंग मान है। रिवर्स चाल में वेरिएबल के मूल्यों की अनुक्रमिक खोज का मतलब है, जो पिछले एक के माध्यम से प्रत्येक वेरिएबल को व्यक्त करता है।

व्यवहार में गॉस पद्धति को कैसे लागू किया जाए, यह जानने के लिए सरल है, संख्याओं के गुणन, जोड़ और घटाव के प्राथमिक नियमों को जानने के लिए पर्याप्त है।

इस पद्धति से रेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन करने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें।

इसलिए, गाऊसी पद्धति का उपयोग कर हल करें:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

हमें दूसरी और तीसरी लाइनों में चर एक्स से छुटकारा पाने की जरूरत है ऐसा करने के लिए, हम क्रमशः पहले, गुणा और 2 से -4 तक जोड़ते हैं। हम प्राप्त करते हैं:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

अब दूसरी लाइन को 5 गुणा करके उसे तीसरे नंबर पर जोड़ें:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

हमने अपने सिस्टम को त्रिकोणीय दृश्य में लाया। अब हम पीछे हैं हम अंतिम पंक्ति से शुरू करते हैं:
-3z = -18,
z = 6

दूसरी पंक्ति:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

पहली पंक्ति:
x + 2y + 4z = 3
एक्स -18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
х = -3

प्रारंभिक डेटा में वेरिएबल्स के प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, हम समाधान की शुद्धता से आश्वस्त हैं।

इस उदाहरण को कई अन्य प्रतिस्थापनों के द्वारा हल किया जा सकता है, लेकिन इसका उत्तर समान होना चाहिए।

ऐसा होता है कि प्रमुख प्रथम पंक्ति परबहुत छोटे मूल्यों वाले तत्व हैं यह डरावना नहीं है, लेकिन यह काफी जटिल है। इस समस्या का समाधान स्तंभ द्वारा मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस पद्धति है। इसका सार निम्न में होता है: पहली पंक्ति में अधिकतम तत्व पाया जाता है, जिस स्तंभ में वह स्थित है वह 1-सेंट कॉलम के साथ बदल जाता है, अर्थात हमारा अधिकतम तत्व मुख्य विकर्ण का पहला तत्व बन जाता है। अगला मानक गणना प्रक्रिया आती है यदि आवश्यक हो, तो कॉलम स्वैप करने की प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।

एक और संशोधित गॉस विधि जॉर्डन-गॉस विधि है

उलटा मैट्रिक्स और मैट्रिक्स के रैंक (गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या) की खोज करते समय इसका उपयोग स्क्वायर SLAU को सुलझाने में किया जाता है।

इस पद्धति का सार यह है कि मूल प्रणाली चर के मूल्यों के लिए आगे की खोज के साथ परिवर्तनों के माध्यम से यूनिट मैट्रिक्स में परिवर्तित हो जाती है।

इसका एल्गोरिथ्म निम्नानुसार है:

1. समीकरणों की प्रणाली गॉस पद्धति के रूप में, त्रिकोणीय रूप में कम हो जाती है।

2. प्रत्येक पंक्ति को एक निश्चित संख्या से विभाजित किया जाता है ताकि मुख्य विकर्ण की इकाई प्राप्त हो।

3. अंतिम पंक्ति को एक निश्चित संख्या से गुणा किया जाता है और ऐसी गणना के साथ उपनगरीय से घटाया जाता है कि हमें मुख्य विकर्ण पर 0 मिलता है।

4. ऑपरेशन 3 क्रमशः सभी पंक्तियों के लिए दोहराया जाता है, जब तक अंततः एक इकाई मैट्रिक्स का निर्माण नहीं होता है।

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