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कोसाइन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें

कोसाइन व्युत्पन्न के साथ सादृश्य द्वारा हैसाइन की व्युत्पत्ति, सबूत का आधार एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा है। कोसाइन और साइन को कम करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके आप एक अलग विधि का उपयोग कर सकते हैं। एक दूसरे के माध्यम से एक समारोह को व्यक्त करें - साइन के माध्यम से कोसाइन, और एक जटिल तर्क के साथ साइन को विभेदित करें।

कोसाइन व्युत्पन्न

फार्मूला (कॉस (एक्स)) की व्युत्पत्ति का पहला उदाहरण देखें "

हम फ़ंक्शन y = कॉस (एक्स) के तर्क x में एक अन्तराल वृद्धि प्रदान करते हैं। तर्क x + Δx के नए मूल्य के साथ, हमें फ़ंक्शन कोस (एक्स + Δx) का एक नया मान मिलता है। फिर फ़ंक्शन का वेतन वृद्धि Cos (x + Δx) -Cos (x) हो जाएगी।
फ़ंक्शन के Δx के वेतन वृद्धि का अनुपात निम्नानुसार होगा: (क्योंकि (x + Δx) -Cos (x)) / Δh। अंश का अंश है, जिसके परिणामस्वरूप पहचान परिवर्तनों ड्रा। याद सूत्र अंतर कोसाइन, परिणाम एक काम -2Sin (Δh / 2) पाप से गुणा (x + Δh / 2) है। जब Δh शून्य करने के लिए जाता है हम Δh द्वारा सीमा लिम निजी इस उत्पाद पाते हैं। यह ज्ञात है कि पहले (बुलाया उल्लेखनीय) सीमा लिम (सिन (Δh / 2) / (Δh / 2)) 1 के बराबर है, और -पाप की सीमा (x + Δh / 2) बराबर -पाप (x) जब Δx, करने के लिए प्रवृत्त है शून्य।
परिणाम लिखें: व्युत्पन्न (कॉस (एक्स)) "बराबर है - पाप (एक्स)

कुछ लोग समान फार्मूला पाने के दूसरे तरीके को पसंद करते हैं

त्रिकोणमिति के पाठ्यक्रम से जाना जाता है: कॉस (एक्स) पाप (0.5 · Π-x) के बराबर है, इसी तरह पाप (एक्स) को कॉस (0,5 · Π-x) है। फिर हम समग्र समारोह को अलग करते हैं- अतिरिक्त कोण के साइन (कोसाइन x के बजाय)।
हम उत्पाद कॉस (0.5 · Π-x) प्राप्त करते हैं (0.5 · Π-x),क्योंकि साइन एक्स का व्युत्पन्न x के कोसाइन के बराबर है कोसाइन के साइन (एक्स) = कॉस (0.5 · Π-x) के दूसरे सूत्र की ओर इशारा करते हुए, हम उस खाते को ध्यान में रखते हैं (0.5 · Π-x) "= -1। अब हम मिलते-सीन (एक्स)
इस प्रकार, हमें कोसाइन व्युत्पन्न मिल गया है, y = = (एक्स) समारोह y = कॉस (एक्स) के लिए।

स्क्वायर कोसाइन व्युत्पन्न

स्क्वायर कोसाइन व्युत्पन्न

अक्सर इसका इस्तेमाल किया जाता है, जहां कोसाइन का व्युत्पन्न प्रयोग किया जाता है। फ़ंक्शन y = कॉस2(एक्स) जटिल है हम प्रतिपादक 2 के साथ पहली अंतर शक्ति समारोह मिल जाए, कि है 2 · क्योंकि (एक्स), तो यह व्युत्पन्न से गुणा किया जाता (क्योंकि (x)) "है, जो बराबर -पाप (एक्स)। हम y प्राप्त" = -2 · क्योंकि (एक्स) · पाप (एक्स)। लागू पाप सूत्र (2 · एक्स), डबल कोण की ज्या, अंतिम सरलीकृत प्राप्त जब
उत्तर y "= -न (2 · x)

हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस

कई तकनीकी के अध्ययन में लागूविषयों गणित के क्षेत्र में, उदाहरण के लिए, यह आसान अभिन्न, अंतर समीकरणों के समाधान की गणना है। वे काल्पनिक तर्क के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त कर रहे हैं ताकि अतिपरवलयिक कोज्या ch (x) = क्योंकि (i · एक्स) जहां मैं - एक काल्पनिक इकाई, अतिपरवलयिक ज्या श है (x) = पाप (i · एक्स)।

हाइपरबॉलिक कोसाइन के व्युत्पन्न
अतिपरवलयिक कोसाइन व्युत्पन्न आसानी से गणना की जाती है।
फ़ंक्शन y = (ईएक्स+ ई-x) / 2, यह च (एक्स) के हाइपरबॉलिक कोसाइन है। हम दो अभिव्यक्तियों के योग के व्युत्पन्न को खोजने के नियम का उपयोग करते हैं, डेरिवेटिव के संकेत के पीछे एक निरंतर कारक (Const) करने के लिए नियम। दूसरी अवधि 0.5 · ई-x एक जटिल कार्य है (इसका व्युत्पन्न -0.5 · ई-x), 0.5 · ईएक्सक्या पहला शब्द है (च (एक्स)) "= ((ईएक्स+ ई-एक्स) / 2) "अलग तरह से लिखा जा सकता है: (0.5 · ईएक्स+ 0.5 · ई-एक्स) "= 0.5 · ईएक्स-0.5 · ई-एक्स, क्योंकि व्युत्पन्न (ई-एक्स) "है -1, गुणा करके ई-एक्स। नतीजा एक अंतर है, और यह sh (एक्स) के हाइपरबॉलिक साइन है।
निष्कर्ष: (च (एक्स)) "= श (x)
चलो उदाहरण के उदाहरण पर विचार करें कि फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे गणना करें y = ch (x31)।
एक जटिल तर्क के साथ हाइपरबालिक कोसाइन को विभेदित करने के लिए नियम द्वारा "= sh (x3+1) · (एक्स3+1) ", जहां (एक्स3+1) "= 3 · x2+0।
उत्तर: इस समारोह का व्युत्पन्न 3 x है2· श (एक्स31)।

फ़ंक्शन के डेरिवेटिव y = ch (x) और y = कॉस (x) सारणीबद्ध हैं

जब उदाहरणों को हल करना प्रस्तावित योजना के अनुसार हर बार उन्हें अलग करना आवश्यक नहीं है, तो व्युत्पत्ति का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है
एक उदाहरण फ़ंक्शन y = कॉस (x) + कॉस को अलग करें2(-x) -Ch (5x)
यह गणना करना आसान है (तालिका डेटा का उपयोग करें), y "= -न (x) + sin (2 x) -5 · sh (5 · x)

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