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फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम अंक कैसे प्राप्त करें: विशेषताएं, विधियां, और उदाहरण

फंक्शन और इसकी विशेषताओं का अध्ययनआधुनिक गणित में प्रमुख अध्यायों में से एक किसी भी समारोह का मुख्य घटक ग्राफ है जो न केवल इसकी संपत्तियों का प्रतिनिधित्व करता है, बल्कि इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के पैरामीटर भी देता है। आइए इस कठिन विषय को देखें। तो, फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक कैसे ढूंढें?

फ़ंक्शन: परिभाषा

किसी अन्य चर की किसी भी मात्रा में किसी अन्य मात्रा के मूल्यों पर निर्भर करता है, जिसे फ़ंक्शन कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ (एक्स2) द्विघात है और पूरे सेट x के लिए मान निर्धारित करता है। मान लें कि x = 9, फिर हमारे फ़ंक्शन का मान 9 होगा2= 81

कार्य सभी प्रकार के हो सकते हैं: तार्किक, सदिश, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, संख्यात्मक और अन्य। उन्होंने लैक्रिक्स, लैग्रेज, लीबनिज़ और बर्नोली जैसे उत्कृष्ट मन का अध्ययन किया उनके कार्यों कार्यों का अध्ययन करने के आधुनिक तरीकों में गढ़ के रूप में काम करते हैं। न्यूनतम अंक खोजने से पहले, फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न का बहुत ही अर्थ समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

न्यूनतम अंक कैसे ढूंढें

व्युत्पन्न और इसकी भूमिका

सभी फ़ंक्शन उनके पर निर्भर हैंचर, जिसका अर्थ है कि वे किसी भी समय अपने मूल्य को बदल सकते हैं। ग्राफ पर, यह वक्र के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा, जो तब गिरा दिया गया है, फिर समन्वय के साथ उगता है (यह ग्राफ के खड़ी के साथ "y" का पूरा सेट है)। इसलिए अधिकतम और न्यूनतम कार्य के बिंदु की परिभाषा सिर्फ इन "उतार-चढ़ाव" से संबंधित है हम यह व्याख्या करेंगे कि यह रिश्ता क्या है।

हम किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु कैसे प्राप्त कर सकते हैं

ग्राफ पर किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किया गया हैअपनी बुनियादी विशेषताओं की जांच और कितनी तेजी से परिवर्तन समारोह की गणना करने के (यानी, अपने मूल्य चर "x" के आधार पर बदल जाता है)। उस पल में, समारोह बढ़ जाती है जब, अपने व्युत्पन्न का ग्राफ भी वृद्धि होगी, लेकिन किसी भी दूसरे समारोह में कम करने के लिए शुरू हो सकता है, और फिर व्युत्पन्न का ग्राफ कम हो जाएगा। अंक जिस पर व्युत्पन्न प्लस के लिए एक शून्य से हो जाता है, अंक न्यूनतम कहा जाता है। आदेश कैसे न्यूनतम बिंदु को खोजने के लिए पता करने के लिए यह बेहतर होगा व्युत्पन्न की अवधारणा को समझना चाहिए।

व्युत्पन्न की गणना कैसे करें?

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा और गणनाअंतर कलन से कई अवधारणाओं का तात्पर्य है सामान्य रूप में, व्युत्पन्न की परिभाषा निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है: यह वह मूल्य है जो फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को इंगित करता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक कैसे प्राप्त करें

कई लोगों के लिए इसे परिभाषित करने का गणितीय तरीकाछात्रों को जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत आसान है। किसी भी समारोह के व्युत्पन्न को खोजने के लिए मानक योजना का पालन करना जरूरी है। नीचे हम वर्णन करते हैं कि आप फंक्शन के न्यूनतम बिंदु कैसे प्राप्त कर सकते हैं, भेदभाव के नियमों को लागू किए बिना और डेरिवेटिव की तालिका के बिना सीख सकते हैं।

  1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का उपयोग करके गणना की जा सकती हैग्राफिक्स। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन स्वयं का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है, फिर उस पर एक बिंदु (अंक A में अंजीर) लेना चाहिए। लंबवत नीचे की ओर एक पंक्ति को धुरा धुरी अक्ष (बिंदु x0), और एक बिंदु पर ग्राफ को एक स्पर्शरेखा खींचनासमारोह। धुरा और स्पर्शरेखा अक्ष एक कोण का निर्माण करते हैं कार्य कितनी तेजी से बढ़ता है, इस मूल्य की गणना करने के लिए, इस कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है a। A।
  2. यह पता चला है कि स्पर्शरेखा के बीच के कोण के स्पर्शरेखा औरएक्स-एक्स की दिशा बिंदु ए के साथ एक छोटे से खंड पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न है। इस विधि को व्युत्पन्न का निर्धारण करने का एक ज्यामितीय तरीका माना जाता है।

समारोह के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु के निर्धारण

समारोह की जांच के तरीके

स्कूल गणित कार्यक्रम में यह संभव हैफ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु को दो तरीकों से ढूंढना ग्राफ़ की मदद से पहला तरीका जो हम पहले से अलग कर चुके हैं, लेकिन हम व्युत्पन्न के संख्यात्मक मूल्य को कैसे निर्धारित करते हैं? ऐसा करने के लिए, आपको कुछ फ़ार्मुलों को सीखना होगा जो व्युत्पन्न के गुणों का वर्णन करते हैं और संख्याओं में "x" प्रकार के वेरिएबल कन्वर्ट करने में मदद करते हैं। निम्नलिखित विधि सार्वभौमिक है, इसलिए इसे लगभग सभी प्रकार के कार्यों (दोनों ज्यामितीय और लॉगरिदमिक) पर लागू किया जा सकता है।

  1. फ़ंक्शन को व्युत्पन्न फ़ंक्शन के साथ समान बनाना आवश्यक है, और फिर भिन्नता नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
  2. कुछ मामलों में, जब एक फ़ंक्शन दिया जाता है, तबविभाजक में चर "एक्स" है, यह "0" को छोड़कर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करने के लिए आवश्यक है (साधारण कारण यह है कि गणित में शून्य में विभाजित किया जा सकता है)।
  3. इसके बाद, फ़ंक्शन की मूल रूप को सरल समीकरण में बदलने के लिए आवश्यक है, पूरे अभिव्यक्ति को शून्य में समेटना उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन इस तरह दिखता है: f (x) = 2x3+ 38x, फिर भेदभाव के नियमों द्वारा इसके व्युत्पन्न एफ "(x) = 3x के बराबर है2+1। फिर हम इस अभिव्यक्ति को निम्न रूप के समीकरण में परिवर्तित कर सकते हैं: 3x2+1 = 0
  4. समीकरण हल करने और अंक "एक्स" खोजने के बाद,उन्हें abscissa अक्ष पर चित्रित करने और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या चिह्नित अंकों के बीच इन वर्गों में व्युत्पन्न सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं। संकेतन के बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि किस बिंदु पर समारोह में कमी शुरू होती है, अर्थात यह नकारात्मक से ऋणात्मक पर हस्ताक्षर करता है इस तरह, आप न्यूनतम और अधिकतम अंक दोनों पा सकते हैं।

भेदभाव नियम

फंक्शन यू के अध्ययन में सबसे बुनियादी घटकइसका व्युत्पन्न भेदभाव के नियमों का ज्ञान है केवल उनकी मदद से आप बोझिल भाव और बड़े जटिल कार्यों को बदल सकते हैं। चलो उनके साथ परिचित हो जाते हैं, उनमें से बहुत कुछ है, लेकिन ये सभी बहुत ही सरल हैं क्योंकि शक्ति और लघुगणक दोनों कार्यों के नियमित गुणों के कारण।

  1. किसी भी निरंतर का व्युत्पन्न शून्य (f (x) = 0) के बराबर है। वह है, व्युत्पन्न एफ (x) = x5+ x - 160 फॉर्म ले जाएगा: f "(x) = 5x4+1।
  2. दो शब्दों की राशि का व्युत्पन्न: (एफ + डब्ल्यू) "= एफ" w + fw "
  3. लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न: (लॉग करेंएकघ) "= डी / एल एन ए * डी यह सूत्र सभी प्रकार के लॉगरिथम पर लागू होता है।
  4. डिग्री के व्युत्पन्न: (xn) "= n * xn-1। उदाहरण के लिए, (9x2) "= 9 * 2x = 18x
  5. एक साइन समारोह के व्युत्पन्न :. एक पाप क्योंकि (पाप क) "= यदि कोण एक 0.5 के बराबर है, इसकी व्युत्पन्न √3 / 2 के बराबर है।

चरम अंक

हमने पहले से ही पता लगाया है कि न्यूनतम अंक कैसे ढूंढें,हालांकि, फ़ंक्शन के अधिकतम अंक की एक अवधारणा है। अगर न्यूनतम उन बिंदुओं को इंगित करता है जिस पर फ़ंक्शन एक शून्य चिह्न से प्लस चिह्न पर बदलता है, तो अधिकतम अंक उन फरकों पर दिए गए हैं जिन पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अधिक नकारात्मक से घटा जाता है

फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु को दो तरीकों से ढूंढना

उपर्युक्त विधि के लिए अधिक से अधिक अंक संभव ढूँढना, यह केवल ध्यान में रखना चाहिए कि वे उन क्षेत्रों में जहां समारोह में कमी करने के लिए शुरू होता है प्रतिनिधित्व करते हैं, वह है, व्युत्पन्न शून्य से कम है।

गणित में, दोनों अवधारणाओं को सामान्य बनाना आम है,उन्हें "extremum अंक" वाक्यांश के साथ जगह जब इन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एक नौकरी की जाती है, इसका मतलब है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करना और न्यूनतम और अधिकतम अंक मिलना आवश्यक है।

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